Аким Васильевич Горшков родился 9 (по новому стилю — 21) сентября 1898 года в деревне Нармуч (ныне — Гусь-Хрустальный район Владимирской области) в бедной крестьянской семье. По национальности русский.
Окончил три класса школы, после чего работал в лесничестве. Активно участвовал в революционных событиях 1917 года, вступил в Муромское формирование Красной Гвардии. После установления Советской власти во Владимирской губернии Горшков поступил на службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию. Участвовал в боях Гражданской войны на Восточном и Южном фронтах. Позднее поступил на службу в органы ВЧК, работал в Казани и Москве.
В 1928 году Горшков вернулся на родину и вместе с шестью семьями крестьян-бедняков создал и возглавил сельскохозяйственную коммуну. Коммунары возделывали землю в районе станции Нечаевской Московско-Казанской железной дороги. С первой выручки от продажи сельхозпродукции они купили сначала коров, а затем два трактора. Вскоре коммуна была преобразована в колхоз «Большевик». Его председателем был избран Горшков. Он оставался на своём посту до самой своей смерти. К концу 1930-х годов колхоз «Большевик» был уже одним из самых передовых хозяйств Владимирской области, насчитывающий более 100 работников. Его продукция дважды представлялась на Всесоюзной сельскохозяйственной выставке. В течение десятилетия вокруг колхоза вырос населённый пункт. В 1930-е годы Горшков арестовывался органами НКВД, два года провёл Ивановском следственном изоляторе.
В годы Великой Отечественной войны Горшков сумел организовать успешную работу колхоза в условиях нехватки мужских рабочих рук, лошадей, техники, горючего, запасных частей. Было построено и налажено парниковое хозяйство, организована заблаговременная высадка рассады. Колхоз «Большевик», выполняя поставки продукции животноводства и растениеводства государству, одновременно взял на себя обязательство по выделению продуктов военным госпиталям и Фонду здоровья защитников Родины. За отличную работу колхоз удостаивался переходящих Красных Знамён. В составе колхозной делегации он ездил в Кремль, на совещание с участием председателя Президиума Верховного Совета СССР М. И. Калинина. Успехи колхоза «Большевик» были официально признаны, и в январе 1944 года на его базе были созданы курсы по повышению квалификации председателей колхозов.
В послевоенное время колхоз Горшкова продолжал активно развиваться. К 1950-м годам в нём состояли уже более 250 семей, а в последующие десятилетия это число удвоилось. Были значительно расширены посевные площади, перестроены коровники и свинарники, застроена колхозная усадьба. Стремясь повысить уровень жизни своих работников, Горшков развивал подсобных хозяйства, за что обвинялся в «искривлении аграрной политики ВКП(б)».
Особенно успешным был для колхоза 1950 год, когда хозяйство перевыполнило годовой план прироста поголовья скота и птицы не менее, чем в 1,5 раза, а также получило по 20,5 тонн свинина на 697 гектаров колхозной пашни. За это Горшков был представлен к званию Героя Социалистического Труда.
После смягчения государственной политики в области сельского хозяйства колхоз «Большевик» отказался от натуральной оплаты труда и перешли к денежным расчётам. После денежной реформы 1961 года средняя заработная плата работающего колхозника составила 128 рублей. Впоследствии в состав колхоза были включены соседние убыточные хозяйства, которые под руководством Горшкова также стали передовыми.
Во время девятой пятилетки (1971-1975 годы) колхоз «Большевик» значительно перевыполнил план продажи государству сельскохозяйственной продукции, несмотря на бушевавшие в те годы лесные пожары. Особенно успешно в колхозе велось выращивание картофеля — только одно звено Кочетковой получило по 752 центнера с каждого из закреплённого гектара, что на тот момент являлся рекордным показателем во всём Советском Союзе. За эти заслуги, а также в ознаменование 75-летия со дня своего рождения и 45-летия нахождения на посту председателя колхоза Горшков вторично был представлен к званию Героя Социалистического Труда. За успехи в развитии сельскохозяйственного производства колхоз "Большевик" был удостоен ордена Трудового Красного Знамени.
На протяжении своей трудовой деятельности Горшков активно занимался общественной работой. Он избирался депутатом Верховного Совета СССР с 6-го по 9-й созывы, депутатом Верховного Совета РСФСР двух созывов, делегатом четырёх съездов КПСС, II и III съездов колхозников, членом Союзного Совета колхозов.
В начале 1960-х годов А. В. Горшков резко критиковал повесть А. И. Солженицына "Матрёнин двор", в которой он упоминался в негативном ключе: "А и на этом месте стояли прежде и перестояли революцию дремучие, непрохожие леса. Потом их вырубили -- торфоразработчики и соседний колхоз. Председатель его, Горшков, свел под корень изрядно гектаров леса и выгодно сбыл в Одесскую область, на том свой колхоз и возвысив."
Умер 18 января 1980 года, похоронен в центре деревни Нечаевская Гусь-Хрустального района Владимирской области, за бюстом, установленным ему как дважды Герою Социалистического Труда.
