Фёдор Ульянович Галкин родился 18 февраля (по новому стилю — 3 марта) 1907 года в деревне Елисеево (ныне — Семёновский район Нижегородской области) в рабочей семье. По национальности русский. В десятилетнем возрасте остался сиротой, безпризорничал. С 1921 года воспитывался в детском доме в городе Кургане. После окончания шести классов школы и профтехшколы Галкин работал столяром на Курганском машиностроительном заводе.
В 1929 году Галкин был призван на службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию. В 1932 году он с отличием окончил Рязанскую пехотную школу, после чего служил на Дальнем Востоке, прошёл путь от командира взвода до командира батальона.
С июля 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Первоначально воевал командиром 1-го отдельного стрелкового батальона 253-й отдельной стрелковой бригады Воронежского фронта. В начале 1943 года батальон под его командованием всего за три дня освободил от немецко-фашистских захватчиков 4 населённых пункта, уничтожив более 400 солдат и офицеров, захватив 567 пленных и большое количество вооружения и боеприпасов. За это Галкин был удостоен первой своей награды — ордена Красного Знамени.
В 1943 году Галкин был назначен командиром 986-го стрелкового полка 230-й стрелковой дивизии. Участвовал в освобождении Донбасса, при наступлении на город Орджоникидзе (ныне — Енакиево Донецкой области Украины) был ранен, но остался в строю, продолжая руководить вверенным его соединением. В боях за город Сталино (ныне — Донецк) Галкин лично водил свой полк в атаку, внеся большой вклад в освобождение этого важнейшего промышленного центра. За это он был удостоен второго ордена Красного Знамени. В осенних боях 1943 года — 4 и 14 сентября 1943 года — Галкин дважды был ранен.
В дальнейшем полк Галкина освобождал Украинскую и Молдавскую ССР. 3-10 марта 1944 года в бою в районе деревни Костырка Николаевской области он держал оборону, отражая ожесточённые контратаки противника. Перейдя в наступление, полк прорвал немецкую оборону и, преследуя отходящего врага, вышел к правому берегу реки Ингулец. 5 апреля 1944 года он освободил хутор Будённый Одесской области и захватил эшелон с важными грузами. 9 апреля 1944 года в районе села Михайловка той же области полк отразил две немецкие контратаки и захватил выгодный рубеж, 11 апреля 1944 года — освободил деревню Славяно-Сербка, уничтожив и захватив в плен более 50 солдат и офицеров противника, а ночью того же дня перерезал дорогу из Малаешти в Тирасполь. 12 апреля 1944 года полк успешно форсировал Днестр и захватил железнодорожную будку к северу от деревни Варница Тираспольского района Молдавской ССР. В последующие дни враг неоднократно переходил в атаку, но ему не удалось сбросить пехоту обратно в реку. 15 апреля 1944 года Галкин был тяжело ранен и эвакуирован в госпиталь. За те бои он был удостоен ордена Суворова 3-й степени.
Впоследствии Галкин был назначен заместителем командира 230-й стрелковой дивизии. Участвовал в освобождении Польши и боях в Германии, организуя преследование отступающего противника и разгром его группировок. При форсировании Одера Галкин находился непосредственно в боевых порядках частей дивизии, участвовал в отражении ожесточённых немецких контратак. За те бои он был награждён орденом Богдана Хмельницкого 2-й степени.
Особенно отличился Галкин во время Берлинской операции. В ночь с 23 на 24 апреля 1945 года он руководил операцией по форсированию частями дивизии реки Шпрее. К утру были переправлены два стрелковых полка со всем вооружением. Галкин лично переправился через Шпрее вместе с 988-м стрелковым полком и руководил операцией по расширению плацдарма, на который три часа спустя переправились значительные силы пехоты и артиллерии. 26 апреля 1945 года части дивизии по приказу командования начали наступление к Рейхстагу. Когда оно замедлилось из-за сильного огневого противодействия, Галкин по собственной инициативе возглавил штурмовую группу и, проникнув через вражеские баррикады, подорвал укрепления, что позволило очистить четыре квартала германской столицы. В уличных боях 27 апреля 1945 года он был тяжело ранен. 30 апреля 1945 года командир 230-й стрелковой дивизии, Герой Советского Союза, полковник Д. К. Шишков представил Галкина к высшей степени отличия СССР.
После окончания войны Галкин продолжил службу в Советской Армии. Был уволен в запас в звании полковника. Проживал и работал в городе Грозном Чечено-Ингушской АССР. Умер 9 февраля 1967 года, похоронен на Центральном кладбище Грозного.
