Александр Демьянович Галецкий родился 8 (по новому стилю — 21) марта 1914 года в городе Одесса в рабочей семье. По национальности русский. Окончил среднюю школу и Одесский институт водного транспорта, после чего работал мастером в механическом цеху Одесского судоремонтного завода.
В июне 1941 года Галецкий был призван на службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию Кагановичским районным военным комиссариатом Одессы. С августа того же года — на фронтах Великой Отечественной войны. 28 августа 1941 года был ранен в боях под Днепропетровском. Первой своей боевой награды — медали «За отвагу» - был удостоен осенью 1942 года.
К осени 1943 года гвардии старший лейтенант Александр Галецкий командовал батареей 233-го гвардейского артиллерийского полка 95-й гвардейской стрелковой дивизии. 8-12 сентября 1943 года артиллеристы под его командованием в бою за железнодорожную станцию Водяное подавили огонь 3 миномётных и 2 артиллерийских батарей, рассеял и уничтожил более роты вражеской пехоты. 4-14 октября 1943 года батарея Галецкого уничтожила 3 танка, 8 автомашин с грузами, 16 пулемётных гнёзд, 2 самоходных орудия, более 350 солдат и офицеров, подавила огонь 7 миномётных и 4 артиллерийских батарей противника. За те бои Галецкий был представлен к ордену Красного Знамени, но вышестоящее командование снизило статус награды до ордена Отечественной войны 1-й степени.
7-12 декабря 1943 года в очередных боях батарея Галецкого уничтожила 2 танка, 1 автоматическую пушку, 1 противотанковое орудие, 9 пулемётных точек, до 90 солдат и офицеров противника. За это Галецкий был удостоен ордена Красной Звезды.
В 1944 году Галецкий был назначен командиром дивизиона 233-го гвардейского артиллерийского полка 95-й гвардейской стрелковой дивизии 5-й гвардейской армии 1-го Украинского фронта. 11-14 августа 1944 года в боях на западном берегу Вислы в районе польского местечка Шидлув на позиции дивизиона противник бросил более 50 танков, бронетранспортёров и самоходок с пехотой, поддерживаемой артиллерией и авиацией. В течение трёхдневных упорных боёв артиллеристы уничтожили 4 танка, 2 автомашины с пехотой, 1 наблюдательный пункт, 2 пулемёта, более 130 солдат и офицеров, подавили огонь миномётной и артиллерийской батарей. За это Галецкий вновь был представлен к ордену Красного Знамени, но командование приняло решение наградить его орденом Александра Невского.
Особенно Галецкий отличился во время Висло-Одерской операции. При прорыве немецкой обороны на Висле он успешно организовал артиллерийское наступление и сопровождение. Только 12 января 1945 года дивизион Галецкого уничтожил 7 дзотов, 38 пулемётных точек и более 320 солдат и офицеров. 14 января 1945 года в бою за местечко Пинчув на реке Нида Галецкий выдвинул орудия на открытую позицию и, ведя огонь прямой наводкой, рассеял передовые группы противника, чем содействовал наступлению основных сил. 20 января 1945 года в районе населённого пункта Сиронскау артиллеристы под его командованием отразили ожесточённую немецкую контратаку, уничтожив самоходку и автомашину, а также захватив 2 самоходки и 1 артиллерийское орудие. Во время боёв на Одере Галецкий организовал переправу своего дивизиона через реку под шквальным немецким огнём, чем обеспечил частям дивизии успешное расширение плацдарма. 30 января 1945 года командир 233-го гвардейского артиллерийского полка гвардии подполковник П. П. Билецкий представил его к званию Героя Советского Союза.
16 апреля 1945 года, в первый же день Берлинской операции, дивизион Галецкого принял участие в ожесточённых боях с противником. Когда один из расчётов выбыл из строя, он сам стал к орудию, продолжая вести огонь, пока не был смертельно ранен осколками разорвавшегося снаряда. Похоронен на 2-м Христианском кладбище Одессы.
